Derivadas.

Introducción

El concepto de derivada es central en el cálculo diferencial e integral. Como ya se mencionó el origen del cálculo integral puede remontarse a la poca de Arquímedes (287﷓212 a.c.) cuando intentaba determinar el rea de algunas figuras especiales por el método de exhaución. Sin embargo, el cálculo diferencial lo podemos ubicar en la poca de Pierre de Fermat (1601﷓1665) cuando se enfrentaba al problema de “maximizar” o “minimizar” ciertas funciones. Fermat requería encontrar la recta tangente a un punto cualquiera de la curva bajo estudio y, en particular, observó que en aquellos puntos donde la curva tenía un máximo o mínimo la recta tangente deba ser horizontal. Por supuesto, inmediatamente surge el problema más general de determinar la recta tangente en cualquier punto arbitrario de la curva. Fermata resolvió este problema que permitió establecer la idea de derivada.

     Por otra parte, nos preguntamos qué relación tiene el problema de determinar el área de una región plana bajo la curva y limitada por el eje﷓x; y el problema de obtener la recta tangente a un punto de dicha curva, que como indicamos conduce al concepto de derivada. Estos dos problemas sin conexión aparente se ubican en el cálculo integral y el cálculo diferencial respectivamente; de manera que podemos replantear la pregunta como sigue: Cuál es la relación entre los dos tipos de cálculo? La respuesta y posterior desarrollo de lo que ahora conjuntamos como cálculo diferencial e integral provino de manera independiente de dos grandes matemáticos, Isaac Newton (1642﷓1727) y Gotfried Leibnitz (1646﷓ 1716). Newton enfocó la aplicación del cálculo a la solución de una gran variedad de problemas en la Física.

   En este punto podemos considerar dos alternativas para lograr la comprensión de la fusión de los dos cálculos. Podemos proceder históricamente desde el cálculo integral hacia el cálculo diferencial o a la inversa. Por cuestiones de secuencia con los capítulos anteriores y de carácter práctico, seguiremos la segunda alternativa; pero, sin olvidar que los conceptos y propiedades que se estudien son fundamentales para el cabal entendimiento de la conexión de dichos cálculos.

   Procedemos a estudiar el concepto de derivada en base al ejemplo geométrico de la línea tangente.

   Ejemplo 7.1 Tangente a una curva
   Solución.

   Sea f una funcin continua con regla de correspondencia y = f(x), y sea (x1,y1) cualquier punto arbitrario de la grafica, como se ilustra en la siguiente figura:












   Cualquier línea no vertical que pase por el punto (x1,y1) tiene una ecuación de la forma

   y = mx + b

Donde b es la ordenada al origen y m es la pendiente de la recta. Nuestro problema consiste precisamente en evaluar m. Sea L la línea secante que pasa por los puntos P y Q con coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente. La pendiente mL de dicha línea está dada por

          y2 ﷓ y1
   mL = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓  ;          x2  x1
        x2 ﷓ x1

e introducimos la notación para la diferencia de las abscisas

     h = x2 ﷓ x1

de manera que podemos rescribir

f(x1+h) ﷓ f(x1)
mL = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ ; h /= 0
h

Ahora consideremos fijo el punto P y movamos Q sobre la curva hacia P, es decir, hagamos h ﷓﷓> 0 y si la línea secante tiene una posición límite, a ésta la postulamos como la línea tangente y, en consecuencia, la pendiente de la recta tangente queda definida como
f(x1 + h) ﷓ f(x1)
mT = lim mL = lim = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ ; h /= 0

          h﷓>0     h﷓>0          h

FUENTE:http://www.mitecnologico.com/Main/Derivadas