martes, 4 de noviembre de 2008

Calculo De Diferenciales

Calculo De Diferenciales

Calculo de diferenciales • es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente e es la derivada de con respecto a • La expresión es una ecuación en derivadas parciales Una ecuación diferencial ecuación diferencial es aquella en que la incógnita es una función y en la cual aparece una o más de las derivadas de la función.

Algunas ecuaciones diferenciales Las siguientes son ecuaciones diferenciales: 1. y’’ + y’ +y = 2x 2. = 2 3. xy’’ - x2y = y’ En todos los casos se supone que y es una función de x. Todas las ecuaciones diferenciales que se dan en el ejemplo anterior se dice que son ordinarias porque dependen de solo una variable independiente. La primera y la tercera son de segundo orden porque la derivada de orden mayor que aparece es y’’ y la segunda es de primer orden porque la derivada de mayor orden que aparece es y’.

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Integrales Indefinidas

Integrales Indefinidas


La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F. Antes de desarrollar este tema debemos dejar en claro ciertos parámetros y definiciones.

Diferencial de una función

Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de f por un incremento de la variable (Δx).

En símbolos:

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Incrementos diferenciales.

Incrementos Diferenciales Interpretacion Geometrica

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.

Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.

Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se leee “delta x”.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

Derivada de una función:

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, enotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I.

FUENTE:http://www.mitecnologico.com/Main/IncrementosDiferencialesInterpretacionGeometrica


Definicion Funcion Primitiva

Definicion Funcion Primitiva

funcion primitiva

una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f. Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real. Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

La relación de Chasles:

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a <>

 y

La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras propiedades

Las primitivas de una función impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f −1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f −1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x. El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f −1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

 Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

                                     (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x)
FUENTE:http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionFuncionPrimitiva

Diferenciales

Diferenciales Definicion

Concepto de diferencial

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f’(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como: y-f(x0)=m(x-x0)

Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.

Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:

1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.

2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy.

Mas precisa se encuentra la siguiente definición:

Definición de diferencial (informal)

Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f ‘(x) dx. ‘’‘Concepto de diferencial La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

FUENTE:http://www.mitecnologico.com/Main/DiferencialesDefinicion



Derivadas

Derivadas.

Introducción

El concepto de derivada es central en el cálculo diferencial e integral. Como ya se mencionó el origen del cálculo integral puede remontarse a la poca de Arquímedes (287﷓212 a.c.) cuando intentaba determinar el rea de algunas figuras especiales por el método de exhaución. Sin embargo, el cálculo diferencial lo podemos ubicar en la poca de Pierre de Fermat (1601﷓1665) cuando se enfrentaba al problema de “maximizar” o “minimizar” ciertas funciones. Fermat requería encontrar la recta tangente a un punto cualquiera de la curva bajo estudio y, en particular, observó que en aquellos puntos donde la curva tenía un máximo o mínimo la recta tangente deba ser horizontal. Por supuesto, inmediatamente surge el problema más general de determinar la recta tangente en cualquier punto arbitrario de la curva. Fermata resolvió este problema que permitió establecer la idea de derivada.


     Por otra parte, nos preguntamos qué relación tiene el problema de determinar el área de una región plana bajo la curva y limitada por el eje﷓x; y el problema de obtener la recta tangente a un punto de dicha curva, que como indicamos conduce al concepto de derivada. Estos dos problemas sin conexión aparente se ubican en el cálculo integral y el cálculo diferencial respectivamente; de manera que podemos replantear la pregunta como sigue: Cuál es la relación entre los dos tipos de cálculo? La respuesta y posterior desarrollo de lo que ahora conjuntamos como cálculo diferencial e integral provino de manera independiente de dos grandes matemáticos, Isaac Newton (1642﷓1727) y Gotfried Leibnitz (1646﷓ 1716). Newton enfocó la aplicación del cálculo a la solución de una gran variedad de problemas en la Física.

En este punto podemos considerar dos alternativas para lograr la comprensión de la fusión de los dos cálculos. Podemos proceder históricamente desde el cálculo integral hacia el cálculo diferencial o a la inversa. Por cuestiones de secuencia con los capítulos anteriores y de carácter práctico, seguiremos la segunda alternativa; pero, sin olvidar que los conceptos y propiedades que se estudien son fundamentales para el cabal entendimiento de la conexión de dichos cálculos.

Procedemos a estudiar el concepto de derivada en base al ejemplo geométrico de la línea tangente.

Ejemplo 7.1 Tangente a una curva
Solución.

Sea f una funcin continua con regla de correspondencia y = f(x), y sea (x1,y1) cualquier punto arbitrario de la grafica, como se ilustra en la siguiente figura:












Cualquier línea no vertical que pase por el punto (x1,y1) tiene una ecuación de la forma

y = mx + b

Donde b es la ordenada al origen y m es la pendiente de la recta. Nuestro problema consiste precisamente en evaluar m. Sea L la línea secante que pasa por los puntos P y Q con coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente. La pendiente mL de dicha línea está dada por

          y2 ﷓ y1
mL = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ ; x2 x1
x2 ﷓ x1

e introducimos la notación para la diferencia de las abscisas

     h = x2 ﷓ x1

de manera que podemos rescribir

f(x1+h) ﷓ f(x1)
mL = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ ; h /= 0
h

Ahora consideremos fijo el punto P y movamos Q sobre la curva hacia P, es decir, hagamos h ﷓﷓> 0 y si la línea secante tiene una posición límite, a ésta la postulamos como la línea tangente y, en consecuencia, la pendiente de la recta tangente queda definida como
f(x1 + h) ﷓ f(x1)
mT = lim mL = lim = ﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓﷓ ; h /= 0
          h﷓>0     h﷓>0          h

FUENTE:http://www.mitecnologico.com/Main/Derivadas

NUMEROS REALES.

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Para empezar el tema de los números reales, un maestro pregunta a su grupo: ¿Qué es un número? Uno de los alumnos responde: un valor, otro dice: una cantidad y un tercero: un símbolo. Y la mayoría de ellos no sabe que responder y se cuestionan si lo que respondieron sus compañeros está bien. Hemos manejado los números reales desde los cuatro o cinco años de edad, pero; ¿qué tan a fondo los conocemos?

La pregunta de qué es un número se la ha hecho la humanidad desde hace muchos siglos. ¿Qué es verdaderamente un número y quién ha dado una buena definición?

Intuitivamente, todo mundo entiende lo que es un número; sin embargo, si se quiere dar una definición formal no es una pregunta simple de contestar y la prueba es que le llevó varios siglos a la humanidad obtener una respuesta adecuada.

Existen varias formas de abordar los números reales, la más conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivo N = {1,2,3,…} por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de Peano y construyendo los demás: enteros negativos, fracciones e irracionales a partir de ellos.

MatemáticoTema
PeanoAxiomas
KroneckerNaturales
ZermeloConjuntos
CauchySucesiones

Una vez que se han caracterizado los números naturales no es muy difícil construir los enteros negativos y los racionales. Sin embargo para los números irracionales ya no es un proceso algebraico tan sencillo. El primero que trató la caracterización de la continuidad de los números reales, como se conoce en la actualidad fue Richard Dedekind (1831–1916), quien con una idea bastante ingeniosa relacionó los números reales con una semi-recta y formalizó el concepto usando lo que él llamó cortaduras, conocidas como cortaduras de Dedekind. Hay otra forma de definir los números irracionales; ésta fue propuesta por Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) utilizando sucesiones, precisamente a éstas sucesiones se les llama sucesiones de Cauchy. En la última unidad uno de los criterios de convergencia para sucesiones y series es conocido como el criterio de Cauchy, en honor a este matemático francés.

Existe otra manera de construir los números reales la cual parte de conceptos más elementales como son los conjuntos y las leyes de la lógica simbólica para formar los números naturales. De ahí de sigue la misma construcción para el resto de los números como en el caso anterior. Esta construcción como se puede ver parte de conceptos más elementales y pretende esclarecer un poco más la pregunta conceptual de qué son los números. Lo importante de todo esto, es que en cualquier construcción se han utilizado diversas aportaciones de grandes matemáticos que han resuelto los problemas angulares en el significado de los números reales. Para una construcción completa de los números reales ver la referencia [1] en Bibliografia.

Una de las formas más sencillas de construir los números reales, sobre todo si lo que se quiere es solamente utilizarlos, es partir de diez axiomas básicos y algunas definiciones que reúnen la esencia de la estructura de los números, esto es, de dichos axiomas se pueden desprender todas las demás propiedades.

Antes de seleccionar la forma de presentar el material de los números reales deberíamos de hacernos las siguientes preguntas.

¿Qué tan importante deben ser los números reales para una persona que piensa estudiar cálculo diferencial e integral?, ¿Qué tan a fondo debe saberlos?

Si reflexionamos un momento veremos que el cálculo diferencial e integral es el estudio de funciones de números reales, por lo que un mayor dominio de éstos deberá redundar en una mejor compresión de las ideas del cálculo. Por eso creemos que es indispensable un buen conocimiento de los números y poder manejarlos con la suficiente facilidad y seguridad cada vez que sea necesario.

Lo que deseamos es saber que propiedades cumplen los números para poder utilizarlos y no profundizar en su estudio a nivel de fundamentación lógica o filosófica, por lo que utilizaremos la última opción mencionada.

Para esto, se dividirán en tres partes las diez propiedades o axiomas. Los primeros seis llamados axiomas de campo caracterizan las operaciones y fundamentan el manejo de expresiones algebraicas como las conocemos. Las siguientes tres, llamadas axiomas de orden caracterizan los números positivos y negativos y son la pauta para el manejo de desigualdades numéricas. Y por último la propiedad décima o axioma del supremo es la que formaliza en una forma sencilla la propiedad concebida por Dedekind y que le da a los números reales la continuidad, la cual es necesaria para definir el concepto de límite, idea central en el estudio del cálculo.

Finalmente, el objetivo principal que se pretende en este capítulo es, aparte de dar una caracterización completa de los números reales, la de presentar un proceso sistematizado de argumentación. Deseamos que el alumno se acostumbre a saber si cada uno de los pasos algebraicos que hace está bien o no, además de entender y poder interpretar el resultado de un paso o de un desarrollo cualquiera. Pues no es deseable que el alumno aprenda simplemente procesos mecanizados, sino que debe ser capaz de hacer la relación con la teoría y en caso de que un procedimiento no sea idéntico a algún otro que ya conoce, tenga la suficiente preparación como para poder establecer la conexión entre ambos o idear el proceso adecuado.

Pero esto no se puede lograr de la noche a la mañana, es un procedimiento lento, el cual además de estudio requiere de la metodología adecuada y suficiente práctica. Esto es, es necesario que el alumno se acostumbre desde las bases algebraicas a trabajar formalmente los elementos matemáticos, para que cuando se aborden los temas de cálculo ya se haya desarrollado en él la inquietud por justificar y comprobar sus resultados.

FUENTE: http://www.mitecnologico.com/Main/NumerosReales